在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,以EF为直径的半圆M如图所示位置摆放,点E与点A重合,点F与点B重合,点F从点B出发,沿射线BC以每秒1个单位长度的速度运动,点E随之沿AB下滑,并带动半圆M在平面滑动,设运动时间t(t≥0),当E运动到B点时停止运动.

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在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,以EF为直径的半圆M如图所示位置摆放,点E与点A重合,点F与点B重合,点F从点B出发,沿射线BC以每秒1个单位长度的速度运动,点E随之沿AB下滑,并带动半圆M在平面滑动,设运动时间t(t≥0),当E运动到B点时停止运动.
发现:M到AD的最小距离为   ,M到AD的最大距离为   .
思考:①在运动过程中,当半圆M与矩形ABCD的边相切时,求t的值;
②求从t=0到t=4这一时间段M运动路线长;
探究:当M落在矩形ABCD的对角线BD上时,求S△EBF.

参考答案与解析

【答案】4、8;①当t=0或t=4或t=8时,半圆M与矩形ABCD的边相切;②π;
【解析】
发现:当点A与点E重合时,点M与AD的距离最小,当点E与点B重合时,点M到AD的距离最大,据此可得;
思考:①根据题意知t=0时半圆M与AD、BC相切,当t=8时半圆M与AB相切,当半圆M与CD相切时,设切点为N,延长NM交AB于点Q,由M是EF的中点且QM∥BF知,据此可得t=BF=2QM=4;
②t=0到t=4这一段时间点M运动的路线长为,由Rt△EBF中BM=MF=BF=4知△BMF是等边三角形,据此可得∠MBF=60°、∠MBM′=30°,利用弧长公式计算可得;
探究:当点M落在BD上时,由四边形BCDA是矩形知∠OAB=∠OBA,由BM是Rt△EBF斜边EF的中线知BM=EM、∠MBE=∠BEM,得出∠OAB=∠BEM及EF∥AC,从而知,据此解答可得.
解:发现:当点A与点E、点B与点F重合时,点M与AD的距离最小,最小距离为4;
当点E与点B重合时,点M到AD的距离最大,最大距离为8;
故答案为:4、8;
思考:①由于四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ABC=90°,
∴当t=0时,半圆M既与AD相切、又与BC相切;
如图1,当半圆M与CD相切时,设切点为N,
∴∠MNC=90°,

延长NM交AB于点Q,
∵∠B=∠C=90°,
∴四边形BCNQ是矩形,
∴QN=BC=6,QM=QN﹣MN=2,
∵M是EF的中点,且QM∥BF,

∴t=BF=2QM=4;
当t=8时,∵∠ABM=90°,
∴半圆M与AB相切;
综上,当t=0或t=4或t=8时,半圆M与矩形ABCD的边相切;
②如图2,t=0到t=4这一段时间点M运动的路线长为

t=4时,BF=4,
由于在Rt△EBF中,EM=MF=4,
∴BM=MF=4,
∴BM=MF=BF=4,
∴△BMF是等边三角形,
∴∠MBF=60°,
∴∠MBM′=30°,
=
探究:如图3,

∵AB=8、AD=6,
∴BD=10,
当点M落在BD上时,
∵四边形BCDA是矩形,
∴OB=OA,
∴∠OAB=∠OBA,
∵BM是Rt△EBF斜边EF的中线,
∴BM=EM,
∴∠MBE=∠BEM,
∴∠OAB=∠BEM,
∴EF∥AC,

∵S△ABC=24,
∴S△EBF=